行列式的性质

            
                
性质一：行列式与它的转置行列式相等
                
$D^{T}$称为行列式D的转置行列式(行变列，列变行)

                 
性质二：对换行列式的两行(列)，行列式变号
                
交换第i行(列)和第j行(列),记作$r_{i} ↔ r_{j}$(列：$C_{i} ↔ C_{j}$ )
                

                 

            
$1$
            
$7$
			
$5$
                
                    

            
$6$
            
$6$
			
$2$
                    
			

            
$3$
            
$5$
			
$8$
                    
                
=-196                    

                 

            
$1$
            
$7$
			
$5$
                
                    

            
$3$
            
$5$
			
$8$
                    
			

            
$6$
            
$6$
			
$2$
                    
                
=196
                
推导出：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零(行列式本质是个值)
                
证：两行相同，交换两行行列式什么都不变，得到D=-D，移项得2D=0，得出D=0，证毕。
                 
性质三：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式
                
第i行(列)乘以k，记作$r_{i} \times k (C_{i}  k)$
                k

                 

            
$1$
            
$7$
			
$5$
                
                    

            
$3$
            
$5$
			
$8$
                    
			

            
$6$
            
$6$
			
$2$
                    
            
=

                 

            
$1$
            
$7$
			
$5$
                
                    

            
$3k$
            
$5k$
			
$8k$
                    
			

            
$6$
            
$6$
			
$2$
                    
            
                 
性质四：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零
                
我觉得与性质2相铺相成
                 
性质五：若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和
                D =

                 

                     
$a_{11}$
                     
...
                     
$a_{1j}+b_{1j}$
                     
$...$
                     
$a_{1n}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
...
                     
$a_{2j}+b_{2j}$
                     
$...$
                     
$a_{2n}$
                
                 

                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                
                 

                     
$a_{n1}$
                     
...
                     
$a_{nj}+b_{nj}$
                     
$...$
                     
$a_{nn}$
                
            
                =

                 

                     
$a_{11}$
                     
...
                     
$a_{1j}$
                     
$...$
                     
$a_{1n}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
...
                     
$a_{2j}$
                     
$...$
                     
$a_{2n}$
                
                 

                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                
                 

                     
$a_{n1}$
                     
...
                     
$a_{nj}$
                     
$...$
                     
$a_{nn}$
                
            
+

                 

                     
$a_{11}$
                     
...
                     
$b_{1j}$
                     
$...$
                     
$a_{1n}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
...
                     
$b_{2j}$
                     
$...$
                     
$a_{2n}$
                
                 

                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                     
$...$
                
                 

                     
$a_{n1}$
                     
...
                     
$b_{nj}$
                     
$...$
                     
$a_{nn}$
                
            

                
拆成两个其他项不变，单拆其一列(行)
                
性质六：把行列式的某一行(列)的个元素乘以同一个倍数，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变
                
以数k乘j行(列)加到第i行(列)上，记$r_{i} + kr_{j}(C_{i}+kC_{j})$ 
                
敲黑板！后面的加到前面去，儿子在后面，爸爸在前面（我是乱说的，我不会举例🫤）
            
        

计算行列式常用的方法

            
            
例如下面这个行列式：
                

                 

                     
$1$
                     
$1$
                     
$0$
                     
$0$
                
                 

                     
$-1$
                     
$2$
                     
$1$
                     
$0$
                
                 

                     
$0$
                     
$-1$
                     
$3$
                     
$1$
                
                 

                     
$0$
                     
$0$
                     
$-1$
                     
$4$
                
            
                
以下是我的看法与解决过程
                
                
我刚开始学的时候总觉得像玩魔方，真的。（可我不会啊！😭）
            
        

行列式按行（列）展开

            
                
在n阶行列式中，把（i，j）元$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下的n-1阶行列式叫做（i，j）元$a_{ij}$的余子式,记作$M_{ij}$
                $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

                ↑代数余子式  ↑余子式
                
例如下面的这个行列式
 D=

                

                     
$a_{11}$
                     
$a_{12}$
                     
$a_{13}$
                     
$a_{14}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
$a_{22}$
                     
$a_{23}$
                     
$a_{24}$
                
                 

                     
$a_{31}$
                     
$a_{32}$
                     
$a_{33}$
                     
$a_{34}$
                
                 

                     
$a_{41}$
                     
$a_{42}$
                     
$a_{43}$
                     
$a_{44}$
                
            
                
在D中（3，2）元 $a_{23}$的余子式和代数余子式分别为：
                
余子式（去掉第三行以及第二列）                                      代数余子式
 

                

                     
$a_{11}$
                     
$a_{13}$
                     
$a_{14}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
$a_{23}$
                     
$a_{24}$
                
                 

                     
$a_{41}$
                     
$a_{43}$
                     
$a_{44}$
                
 
                      $A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -M_{32}$
                
你如果不蠢，就看出来了，代数余子式就是余子式加了个代数罢了，也就是个符号问题
                
引理： $一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元a_{ij}外都为零，那么这行列式等于a_{ij}与它的代数余子式的乘积$ 
                
$即：   D = a_{ij} A_{ij}$
                
举个例子
                 D=

                

                     
$a_{11}$
                     
$a_{12}$
                     
$a_{13}$
                    
$a_{14}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
$a_{22}$
                     
$a_{23}$
                     
$a_{24}$
                
                 

                     
$0$
                     
$0$
                     
$a_{33}$
                     
$0$
                
                     

                     
$a_{41}$
                     
$a_{42}$
                     
$a_{43}$
                         
$a_{44}$
                
 
                
在行列式所示，在n阶行列式中，第3行除（3，3）元$a_{33}外都为零$
                
$即：   D = a_{33} A_{33}$
                
$而A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$
                $而M_{33} =$

                

                     
$a_{11}$
                     
$a_{12}$
                     
$a_{14}$
                
                 

                     
$a_{21}$
                     
$a_{22}$
                     
$a_{24}$
                
                 

                     
$a_{41}$
                     
$a_{42}$
                     
$a_{44}$
                
            
            
        

Laplace展开定理

            
                
$行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和$
                
$即某一行：D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$
                
$即某一列：D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}$
            
        

范德蒙德行列式

$$\left|\begin{array}{ccccc}{x}_1^0& x_2^0& x_3^0& ...& x_n^0\\ x_1^1& x_2^1& x_3^1& ...& x_n^1\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& ...& x_n^2\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& ...& x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod (x_i-x_j)(n\ge i\ge j\ge 1)$$

$$\prod$$

上面这个符号是指连乘的意思

范德蒙德行列式一点都不难，见到这个行列式就偷着笑吧，下面是举例

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ a^2& b^2& c^2& d^2\\ a^3& b^3& c^3& d^3\end{array}\right|=(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)$$

没错就是不同两数的相减再相乘，但是值得注意的是范德蒙德行列式第一行一定要是0次方，并且每一行的是一个次幂的关系

稍复杂行列式计算方法

1.行(列)和相等

解法：都加到第一行(列),提出公因子,再高斯消元

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 1& 2& 4\\ 4& 2& 1& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}10& 10& 10& 10\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 1& 2& 4\\ 4& 2& 1& 3\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 1& 2& 4\\ 4& 2& 1& 3\end{array}\right|$$

$$10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 3& 1& 2& 4\\ 4& 2& 1& 3\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& -2& -1& 1\\ 0& -2& -3& -1\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& -3& 5\\ 0& 0& -5& 3\end{array}\right|$$

$$10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& -3& 5\\ 0& 0& -5& 3\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 2& 5\\ 0& 0& -2& 3\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 2& 5\\ 0& 0& 0& 8\end{array}\right|=10\times 1\times 1\times 2\times 8$$

怎么样，是不是操作起来很简单

2.爪型行列式

解法：高斯消元法消去第一行第一列的元素，反正就是消去爪的其中一个爪

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 1& 1& 1\\ 1& a_2& 0& 0\\ 1& 0& a_3& 0\\ 1& 0& 0& a_4\end{array}\right|$$

例题：

$$\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& -1& 2& -1\\ 0& -1& -1& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right|=1\times 1\times 1\times (-2)$$

没啥好说的

3.点斜行列式

解法：点在哪里跟点走，按点所在行(列)展开

$$\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& ...& 0& 0\\ 0& a& b& ...& 0& 0\\ 0& 0& a& ...& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& ...& a& b\\ b& 0& 0& ...& 0& a\end{array}\right|$$

怎么样，是不是一眼看去，感觉整个人像是脑袋缺血，要g了感觉

没事儿，小问题，细看这个行列式，是不是对角线以及周围一点点是连续的，然后在靠近四个角落的地方出现一个单独的点

以上是看懂这个行列式长什么样，其他你不需要过度关注，认识一个东西，然后才是解决它。

$$\left|\begin{array}{llll}1& a& 0& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a\\ a& 0& 0& 1\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 1& a& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right|=(-1{)}^{4+1}a\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 1& a& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right|=(-1{)}^{4+1}a\times a\times a\times a$$

看了上面感觉很简单？别飘，下面难点就来

4.三线行列式

解法：展开递推法，利用展开定理求递推公式。

是不是一头雾水，没关系，慢慢来，这部分确实不太好理解

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|=\underset{\_}{}.$$

我们按第一行展开

$$=2A_{11}+2A_{1n}=(-1{)}^{1+1}2\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& ...& 0& 2\\ -1& 2& ...& 0& 2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right|+(-1{)}^{n+1}2\left|\begin{array}{ccccc}-1& 2& 0& 0& 0\\ 0& -1& 2& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right|$$

没问题吧，可是我们发现展开以后是两个行列式

第二个行列式刚好就是上三角，直接求，对角线相乘，可是有多少个-1呢？还用想，第一行没有-1，其余行都有，n阶，肯定是n-1个

$$=2A_{11}+2A_{1n}=(-1{)}^{1+1}2\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& ...& 0& 2\\ -1& 2& ...& 0& 2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right|+(-1{)}^{n+1}2\times (-1{)}^{n-1}$$

$$=2A_{11}+2A_{1n}=(-1{)}^{1+1}2\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& ...& 0& 2\\ -1& 2& ...& 0& 2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right|+(-1{)}^{2n}2$$

$$=2A_{11}+2A_{1n}=(-1{)}^{1+1}2\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& ...& 0& 2\\ -1& 2& ...& 0& 2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right|+2$$

没问题吧？那现在有个问题就是第一个行列式怎么算？

你仔细看看，它就是我们原来的行列式少了 一行而已，整体上还是保持三行，再展开还是如此

$$我是不是可以这样写D_n=2D_{n-1}+2$$

那怎么求第n项？我们已知的有等比以及等差都可以求第n项，我们构造等比数列的样子

$$D_n=2D_{n-1}+2⟹D_n+2=2D_{n-1}+4⟹D_n+2=2(D_{n-1}+2)⟹\frac{D_n+2}{D_{n-1}+2}=2$$

完美，现在我们知道D其实就是一个等比数列，其中公比是2

$$等比数列第n项公式=a_1{q}^{n-1}$$

$$D_n=D_1{2}^{n-1}$$

$$D_1=\left|\begin{array}{c}2\end{array}\right|因为你看嘛，你一直展，展到最后是不是只有一个右下角的那个2$$

$$D_n+2=(D_1+2)\times 2^{n-1}⟹D_n=2^{n+1}-2$$

二阶线性递推式的求解

上面的递推式相信你也看到了，我们凑等比是比较好理解的一种方式

$$D_n=a{D}_{n-1}+b{D}_{n-1}$$

这种怎么办？

有两种办法

第一种

$$D_n+x{D}_{n-1}=y(D_{n-1}+x{D}_{}n-2)$$

$$\{\begin{array}{ccccc}y& -& x& =a& \\ y& \cdot & x& =b& \end{array}⟹\{\begin{array}{ccc}x& =& \\ y& =& \end{array}$$

以上在干嘛，其实也是在构造等比数列

第二种

写特征方程

$$D_n-a{D}_{n-1}-b{D}_{n-2}=0$$

$${\lambda }^2-a\lambda -b=0$$

$$解出{\lambda }_1和{\lambda }_2$$

$$解出{\lambda }_1和{\lambda }_2\{\begin{array}{cccccccc}△>0& D_n=A{\lambda }_1^{n-1}+B{\lambda }_2^{n-1}& & & & & & \\ △=0& D_n=(A+Bn){\lambda }_1^{n-1}& & & & & & \end{array}$$

$$代入D_1和D_2求A，B$$

行列式计算经验总结

①利用求逆矩阵公式计算伴随，然后可以求解代数余子式的加和
②重点区分一个点，代数余子式是不会乘上当前元素的，只是正负号+n-1阶行列式。只有当求行列式的时候，才会让元素乘上代数余子式。
③要喜欢用分块来求解行列式
        

$$设A、B均为n阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则行列式|A+B|=$$

交换使用一对单位阵

$$|A+B|=|EA+BE|$$

$$=|B{B}^{-1}A+B{A}^{-1}A|=|B(B^{-1}+A^{-1})A|=|B(B^T+A^T)A|$$

$$|A+B|=-|A{|}^2|A+B|$$

$$|A+B|=-|A+B|$$

$$|A+B|=0$$

矩阵

零矩阵元素全为0

单位矩阵对角线元素为1，其余全0

对角矩阵主对角线外的所有元素全为0

矩阵运算没有两个律：交换律、消去律

对称矩阵A的转置=A

反对称矩阵A的转置=-A

伴随矩阵元素代数余子式构成再转置

逆矩阵

不是方阵不谈逆矩阵

$$A\cdot B=E$$

A和B互为逆矩阵，天然可交换就是A点乘B=B点乘A

可逆矩阵也称为非奇异矩阵

逆矩阵可逆的充要条件

$$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|=0\iff A不可逆$$

$$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\ne 0\iff A可逆$$

矩阵的逆是什么东西？

我们说E是单位矩阵，单位矩阵意味着如同我们数学里面的1

而我们的

$$A\cdot A^{-1}=E$$

相当于

$$8\cdot \frac{1}{8}=1$$

但是也只是相当于，矩阵是没有除法的

我们知道，当行列式不为0的时候，矩阵可逆

为什么？

一种解释是

$$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$

当然其实使用这个记住当矩阵可逆行列式不为0其实也ok

在二维矩阵中矩阵的行列式是一个面积

在三维矩阵中矩阵的行列式是一个体积

...

因此在每一个维数行列式=0时代表，组成当前物质的线（向量）都是共线

满秩代表着组成这个矩阵的所有向量都是线性无关的，也就是这些向量都可以成为空间中的坐标系

既然可以组成坐标系也就是不共线，于是这个矩阵的行列式绝对不为0，因为不共线

并且我们知道可逆就是倍数，缩小与放大，如果是行列式=0，也就是共线，我们将它缩小一个点，此时这个点不能通过可逆，变回原来的线

与此同时，如果行列式不为0，也就是这些向量组成一个坐标系并且行列式为其中的一个物质（二维面，三维体）

我们将它缩小，也可以通过可逆变换，将它回放为原来的

因此总结以上

可逆=行列式不为0，满秩=可逆=行列式不为0

分块矩阵

加法：A、B同型，采用相同的分块法，相对应元素所在部分相加

数乘乘上分块矩阵的每一个部分

乘法与矩阵乘法一致

分块矩阵的转置大体上转置，里面的每一个元素也转置

分块矩阵的两个重要的结论

1.分块矩阵行列式

$$\left|\begin{array}{cc}{A}_{n\times n}& 0\\ 0& B_{m\times m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_{n\times n}& C\\ 0& B_{m\times m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_{n\times n}& 0\\ C& B_{m\times m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|$$

2.分块矩阵的逆矩阵

口诀：主满只取反，主满顺时针，副满要互换，副满逆时针

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}B& D\\ 0& C\end{array}\right)⟹A_1^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}^{-1}& -B^{-1}D{C}^{-1}\\ 0& C^1\end{array}\right)$$

$$A_2=\left(\begin{array}{cc}D& B\\ C& 0\end{array}\right)⟹A_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& C^{-1}\\ B^{-1}& -B^{-1}D{C}^1\end{array}\right)$$

矩阵的初等变换

$$单位矩阵⟹\underset{\_}{有限初等行变换}\Rightarrow 初等矩阵$$

$$E_{ij}:交换了一次i、j行(列)得到$$

$$E_i(k):在第i行(列)乘上k$$

$$E_{31}(k):第一行\times k+第三行/第三列\times k+第一列$$

行就近，列就远

左行右列：左乘行变换，右乘列变换

初等变换法求逆矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right)\overrightarrow{有限初等行变换}\left(\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right)$$

怎么着对上面的表不以为意？甚至觉得让你感到厌恶？

矩阵的广义初等变换

矩阵等价

$$A\overrightarrow{有限次初等变换}B⟹A与B等价(A\cong B)$$

判定方法两种：

第一种：存在两个可逆矩阵P、Q使得PAQ=B，则A等价B

第二种：首先A、B矩阵同型，r(A)=r(B)则A等价B

矩阵的秩的11大公式

我自己整理了一个口诀

越乘越小，列行满秩可逆原$$r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$$$$若P列满秩，则r(PA)=r(A),若P行满秩，则r(AP)=r(A),若P可逆,则r(PA)=r(A),r(AP)=r(A)$$
乘为0秩和小于列
并大小和，和小分
数乘转置也为原
大0小行列

不想详细说了，太麻烦，不是什么难点

思考一个问题，矩阵A的伴随矩阵是不是都是A的n-1阶子式

$$r\left(A^{\ast }\right)=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$$

是不是很突然，没关系，我们一个个来解释

$$\text{当 }r(A)=n\text{ 时,}|A|\ne 0\text{,所以 }|A^{\star }|=|A{|}^{n-1}\ne 0\text{,所以 r}(A^{\star })=n$$

第二个，因为A的秩是n-1所以n-1阶子式一定存在一个不为0，所以伴随的秩就是大于等于1，A乘上A的伴随等于A的行列式乘E，A行列式为0，所有两矩阵相乘为0，秩和小于列就是n，而A是n-1，所以A伴随就是小于等于1，所以伴随矩阵就是1

因为A的n-1阶子式行列式全为0，而伴随是由n-1阶子式构成，所以伴随的秩就是0

向量与向量组

向量线性运算

向量正交分解

向量在笛卡尔坐标系上

向量的概念

行向量与列向量

向量组：同维向量

向量的线性组合：每个向量乘上一个常数以后的加和

线性表出：向量的线性组合=一个新向量，这个新向量就是线性表出的结果

线性相关：线性组合=0，其中当乘的每个常数k=0的时候有一个解，当所有常数不全为0的时候也有解就是线性相关，称这个向量组线性相关

线性无关：线性组合=0，当只有常数全为0的时候，等式成立，称这个向量组线性无关

局部相关整体就相关，整体无关局部就无关(好好品味一下这句话)

其实很好理解，家里面有个盆，盆里面有花，那么家里面就有花，如果整个家没有花，当然盆里面也没有

向量组的秩与极大线性无关组：向量组的秩就是极大现线性无关组中向量的个数

注意，向量组是由一个个向量构成的，矩阵是一个数表

我们可以将向量组写成矩阵形式，并且求的秩也都是一样的结果，但是本质是不一样的

利用向量组的秩判断向量组的线性相关性

向量秩、向量个数

秩=个数就是无关

秩< 个数就是相关

见到一个向量组被另一个向量组线性表出，立即写成矩阵相乘的形式

一个矩阵A乘上一个可逆矩阵不会改变A的秩

向量组线性无关，伸长也无关，向量组线性相关，缩短也相关

向量组中的个数超过维数，该向量组必线性相关

向量组线性无关，若此时加入一个向量变成线性相关，那么新加的向量可由原来的向量组线性表出

向量组A可由向量组B线性表出，那么r(A)<=r(B)

具体数值的极大无关组判断：化行阶梯矩阵，任选列，看其行列式为0则相关，非0则无关

线性方程组

自由未知数=总未知数-独立未知数

独立未知数：矩阵的秩，可以将自由未知数线性表出

齐次线性方程组 A X=0

齐次线性方程组一定有解，至少有零解

齐次线性方程组解的判定

因为是齐次，所以增广矩阵的秩的永远等于矩阵的秩

当矩阵的秩=向量个数可以推出仅有零解，列向量组线性无关

当矩阵的秩< 向量的个数说明有非零解，列向量组线性相关

也可以通过行列式来判定，但是前提是向量组形成的矩阵是方阵

行列式不为0，说明满秩，只有零解

行列式为0说明不满秩，有非零解

下面来一道例题：

$$\text{ 设 }\mathit{A}=[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ \\ -1& 1& 1\\ \\ 0& -4& -2\end{array}],\text{求解 }\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$$

拿到题目，秒了🤣开个微笑。玩笑，我们肯定要判断一下秩，那就是化呗，化行最简一步到位

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& -4& -2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& -2& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

怎么，希望你没有说怎么没有加负号，那是行列式变换两行才加，这是矩阵，初等变换不是等号发现没有

可以看出矩阵秩为2，自由未知数=3-2=1，为什么是减2？傻啊你，秩是2啊，独立未知数就是2，总未知数是3，3-2=1，自由未知数不就是1了

由于矩阵的秩是2<3所以有无穷多解，我们选择最具代表性的构造基础解系

$$X=k\left(\begin{array}{c}\\ \\ 1\end{array}\right)$$

我们将自由未知数赋值为1，去解两行里面的独立未知数

$$X=k\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)$$

就是这莫简单

$$A_{m\times n}{B}_{n\times p}=0$$

看到上面这个东西，立即想两个东西：秩和解

$$\begin{array}{c}秩:r(A)+r(B)\le n\end{array}$$

$$\begin{array}{c}解:B的列均是AX=0的解\end{array}$$

非齐次线性方程组

增广矩阵最后一列不再是0

克拉默法制(必须是方阵)

用增广矩阵的那一列依次替换系数矩阵的列形成行列式除上系数矩阵行列式，就是每一个x解

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right]这是系数矩阵$$

$$D=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}& b_2\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}& b_n\end{array}\right]这是增广，\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]这是增广矩阵那一列$$

我们用增广替换第一列得出D1

$$D_1=\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& ...& a_{1n}\\ b_2& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ b_n& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right]$$

所以第一个X解出来就是这个矩阵的行列式除上没有替换的

$$X_1=\frac{\left|\begin{array}{c}{D}_1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|}$$

其他依次类推

不难看出啊，当D的行列式(分母)不为0的时候，是有唯一解的，那等于=0咋办，那就是无穷解或者无解

这是克拉默法制给出依据行列式求解并判定解个数。还是那句话，方阵。

不是方阵怎么办？用秩先判定增广和矩阵的秩是否相等，不相等无解，相等且等于向量组个数是唯一解，小于向量组向量个数是无数解

齐次是通解，那非齐次怎么说，就是通解加一个特解

下面是例题：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+2x_3-x_4=1,\\ 2x_1-4x_2+8x_3=2,\\ -2x_1+4x_2-2x_3+3x_4=3,\\ 3x_1-6x_2-6x_4=4;\end{array}$$

我们写出增广矩阵

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& |1\\ 2& -4& 8& 0& |2\\ -2& 4& -2& 3& |3\\ 3& -6& 0& -6& |4\end{array}\right]$$

化行最简阶梯,只用初等行变换

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& |1\\ 0& -8& 12& -2& |4\\ 0& 0& 2& 1& |3\\ 0& 0& -6& -3& |1\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{ccccc}2& 0& 0& 0& |3\\ 0& -4& 0& -4& |3\\ 0& 0& 2& 1& |3\\ 0& 0& 0& 0& |10\end{array}\right]$$

不难看出，无解因为矩阵的秩 不等于增广的秩

再来一道！

$$\text{设}\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ 0& -4& -2\end{array}\right],\mathit{b}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right],\text{求}\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b};$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ -1& 1& 1& 1\\ 0& -4& -2& -2\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ 0& -4& -2& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}2& -2& -2& -2\\ 0& -2& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}2& 0& -1& -1\\ 0& -2& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

可以看出矩阵秩等于增广秩，所以有阶，且秩小于向量组向量个数所以有无数多解，就是求非齐次的基础解系，通解+特解

先求齐次通解

$$X=k\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)$$

解非齐次的时候将自由未知数赋值为0简单点

$$X=k\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$$

总的来说齐次就是----=0.非齐次特解就是-----=a

线性表出

例如我们上一题的答案

$$X=k\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$$

$$X=k\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}\\ k\end{array}\right)$$

$$\beta =(\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}){\alpha }_1+(-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}){\alpha }_2+(k){\alpha }_3$$

将其余向量被极大无关组表出

解法：将极大无关组化为单位阵，没听错就是单位阵，其余向量表出的系数就是其系数

例题

$$\begin{array}{rl}& \text{已知}{\mathit{\alpha }}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\\ 3\end{array}\right],{\mathit{\alpha }}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right],{\mathit{\alpha }}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ a+2\\ a+2\\ 1\end{array}\right],{\mathit{\alpha }}_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\\ a+8\end{array}\right],\mathbf{且}\mathit{\beta }=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ b+3\\ 5\end{array}\right],\\ & (\text{ 1) }a,b\text{ 为何值时 ,}\mathit{\beta }\text{ 不能表示成}{\alpha }_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4\text{ 的线性组合;}\\ & (2)a,b\text{ 为何值时 },\mathit{\beta }\text{ 有}{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4\text{ 的唯一线性表出式,并写出该表出式}.\end{array}$$

多的不说，第二问解出来,当a≠-1时

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2& 1\\ 0& 0& a+1& 0& b\\ 0& 0& 0& a+1& 0\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -\frac{2b}{a+1}\\ 0& 1& 0& 0& \frac{a+b+1}{a+1}\\ 0& 0& 1& 0& \frac{b}{a+1}\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

$$\mathit{\beta }=-\frac{2b}{a+1}{\mathit{\alpha }}_1+\frac{a+b+1}{a+1}{\mathit{\alpha }}_2+\frac{b}{a+1}{\mathit{\alpha }}_3+0{\mathit{\alpha }}_4.$$

秩

$$r({\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{\alpha }_4{\alpha }_5)=2$$

以上这个式子意味着什么？

秩：极大线性无关个数

也就是说有2个是极大无关，用这两个可以表示其他所有

类似平面的二维坐标，可以表示所有平面上的向量

其次如果2个无关再多一个就是线性相关的了

当r=3的时候，也就是极大无关是3个，3个坐标系就是三维空间

最多三个线性无关，多一个都是线性相关

3个线性无关向量可以表示三维向量中的所有向量

---------------------------------------

AX=0是齐次方程

我们有一个公式

S=n-r

就是说自由未知数=总未知数-独立未知数

S我们说自由未知数，也就是线性无关的

$$X=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$$

一般我们解齐次方程是解出以上这种东西，我们一开始就是通过s=n-r=2推断出有两个自由未知数，于是就两个k

为什么两个k，因为这两个向量线性无关

既然线性无关是不是声明秩是2？毕竟秩是极大线性无关组个数

确实是的，秩是2，那是谁的秩？是公式里面的r？

不是的，r是系数矩阵的秩，也就是AX=0中的A的秩，即r(A)=2

那这个s是谁的？是X的秩

s等于多少，说明了解齐次解X的解系中有多少个线性无关向量，也就是k的个数是多少个

以上都是齐次解

非齐次解的公式是

s+1 = n - r + 1

请注意这里只是单纯的公式，不要化简，不要把1两边去掉

s+1=5，说明非齐次解X的秩就是5

非齐次解的构成是=齐次解+一个特解

也就是s本身是齐次解的个数=4，+一个特解，这个特解是不能用齐次解表示，所以就是非齐次解的秩就是齐次解的秩+1

也就是为什么非齐次解要用s+1了，也就是非齐次解最多s+1个线性无关向量

矩阵方程

$$A\left[\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]$$

$$AX=B$$

这一眼看上去不就是非齐次增广吗？no，非齐次是只有一列，这是多列组成的常数项矩阵

X的解也很好说，就是将常数项矩阵的每一列依次拿出来形成非齐次增广矩阵按照非齐次求解就是每个X的解

求出来的每一个X再组成一个向量组，或者是用这些向量线性表出的结果就是X的解

矩阵方程解的判定

同样与线性方程组的方法一模一样

向量组的等价

向量组可以相互表出就是等价

判定方法（三秩相等）

特征值和特征向量

$$A\alpha =\lambda \alpha (\alpha 是非零向量)$$

满足以上式子，λ是特征值，α是特征向量

为什么我们求解特征值的时候总是用以下这个式子

$$|\lambda E-A|=0$$

因为我们看定义式子

$$A\alpha =\lambda \alpha ⟹\lambda \alpha -A\alpha =0⟹(\lambda E-A)\alpha =0$$

嘿，您儿猜怎么着儿，是不是像齐次线性方程组

$$(\lambda E-A)\alpha =0⟹A_1\alpha =0$$

我们知道就是一件事，齐次线性方程如果秩等于向量个数的话，说明只有唯一解，说明α解只有0解

而n元齐次线性方程组A x = 0有非零解的充分必要条件是R ( A ) < n

我们定义里面说了，α是非零向量当然是秩小于个数，也就是n阶行列式是为0的

这里我其实一开始有点犹豫的，因为我想到线性相关的定义时，全0和非全0是系数k的，而不是x后来想了想没有半毛钱关系，两个都不是一个东西

特征向量怎么求？

我们通过行列式为0求出多个特征值，分别回代求出多个特征向量

主对角线的上三角、下三角、对角阵的特征值为对角线上的数

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 3& 2& 0\\ 2& 3& 2& 1\end{array}\right]的特征值就是1、1、2、1$$

特征值与特征向量是一一对应的

不同特征值对应的特征向量是线性无关的(别脑洞打开，相同特征值对应的特征向量不一定相关)

特征值对应的特征向量的数乘不影响特征值

同一特征值对应的不同特征向量，两个不同特征向量经过线性关系后对应的特征值还是这个特征值

矩阵相似与相似对角化

$$存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B,则A与B相似$$

相似是具有传递性的

相似的五等五相似很重要

相似对角化

很简单，就是一个矩阵A如果相似于一个对角矩阵，那么A就可以相似对角化

$$P^{-1}AP=\wedge$$

给我认真点！😡🤬这就是相似定义的式子，只不过现在相似对象是对角矩阵

我们左乘一个P

$$\mathrm{A}({\mathrm{p}}_1,{\mathrm{p}}_2,\cdots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}})=({\mathrm{p}}_1,{\mathrm{p}}_2,\cdots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}})\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_{\mathrm{n}}\end{array}\right]=({\lambda }_1{\mathrm{p}}_1,{\lambda }_2{\mathrm{p}}_2,\cdots ,{\lambda }_{\mathrm{n}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}),$$

$$\mathrm{A}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}={\lambda }_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$$

怎么样是不是就是特征值与特征矩阵的味道

然后就是线性方程组和矩阵方程的味道！🤣🤣🤣🤣🤣

P现在就是一个特征向量组而不是单一个特征向量，其次特征值也不是一个，而是特征向量对应特征值构成的对角阵，注意特征值对角阵和特征向量组也是一一对应

矩阵是否相似对角化的判定

1.r重特征值一定具有r个线性无关的特征向量(充要)

2.A具有n个不同特征值(充分)

我们看到第一个判定方法，线性无关，是不是很耳熟，利用秩来判定

满秩说明无关

当矩阵可以相似对角化时，矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩

隔了无数天，回头来看的这句话，为什么相似对角化的时候，秩是非零特征值个数

因为相似对角化以后特征值构成对角阵，这个对角阵因为相似于矩阵，也就是两个秩是相等的

既然如此特征值构成的对角阵，非零的特征值构成的当然是它的秩

正交矩阵、施密特正交化

向量内积

$$\alpha =\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]$$