高等数学错题本

题目1

$设 f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{2 x^{n} - 3 x^{- n}}{x^{n} + x^{- n}} \sin \frac{1}{x} 则 f (x) 有$

$(A) 两个第一类间断点$

$(B) 三个第一类间断点$

$(C) 两个第一类间断点和一个第二类间断点$

$(D) 一个第一类间断点和一个第二类间断点$

出错原因：

不会，第一步就开始找可疑点(无定义点)，殊不知极限对n求，结果没有n,极限都没有求就开始找点了，你是真的牛逼

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题目2

$求函数 y = \ln_{} (x + \sqrt{x^{2} - 1}) (x \geq 1) 的反函数$

出错原因：

只会左右同时换个以e为底的步骤然后懵了，根号不知道怎么去

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题目3

$求极限 lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x})$

出错原因：

看到这道题第一步竟然不是想有理化，而是自以为是的提出根号x，还以为这样绝了

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题目4

$设 α = \sqrt{x \sin \sqrt{x}}, β = \sqrt{x + \sqrt{x}}, γ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}}} - \sqrt{2}, 当 x ⟶ 0^{+} 时，这三个无穷小量从低阶到高阶的排序是$

A. $α ， β ， γ$

B. $γ ， β ， α$

C. $β ， α ， γ$

D. $β ， γ ， α$

出错原因：

太久了，忘了

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题目5

$当 x \to 0^{+} ，下列无穷小量中比其他三个都高阶的是$

$A . x \ln_{} x$

$B . e^{\cos x} - e$

$C . \sqrt[3]{\cos x} - 1$

$D . \ln_{} (\tan x - \sin x + e^{x^{4}})$

出错原因：

忘了

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题目6

$试确定常数 a, b, c 的值，使得 \ln_{} (1 + x) - \frac{a x}{1 + b x} = c x - x^{2} + \circ (x^{3}), 其中 \circ (x^{3}) 是当 x \to 0 时比 x^{3} 高阶的无穷小量。$

出错原因：

忘了

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题目7

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (t a n x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}}$

出错原因：

忘了

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题目8

$讨论函数 y = \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} 的间断点的类型$

出错原因：

学了太多东西以后，竟然第一章的东西都快忘记的差不多了，间断点就只知道有两类了，都不知道求间断点的第一步是什么了

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题目9

$设 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 a < c < d < e < b ，试证明对任意 p, q, r > 0 ，在 [a, b] 上必有一点 ξ 使得 p f (c) + q f (d) + r f (e) = (p + q + r) f (ξ)$

出错原因：

拿到题目完全没思路，完全不知道要干嘛，服了，就跟个傻蛋一样，就隐约感觉和拉格朗日中值定理有关系，但是人是开区间可导，闭区间连续，我去，不对，这不是柯西中值定理的条件吗，还有一大堆定理的条件，忘的差不多了，麻了

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题目10

$lim_{x \to \infty} (\sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x})^{x}$

出错原因：

无

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题目11

$设 y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x . . . \sqrt{x}}}} （一共 n 项），则 \frac{d y}{d x} =$

出错原因：

本来想先算一点找点规律的，但是直接cpu干冒烟了，你说气不气，完全超了我的思考范围，看了答案结果等比数列公式求和不会，直接爆炸

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题目12

$lim_{x \to \infty} [\frac{x^{2}}{(x - a) (x - b)}]^{x}$

出错原因：

无

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题目13

$设 lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + a x^{2} + b}{x - 2} = 8, 则 a =， b =$

出错原因：

无

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题目14

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} + e^{x} - e - 1}{\ln_{} (x + \sqrt{1 + x^{2}})}$

出错原因：

无

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题目15

$lim_{x \to 0} [\tan (\frac{π}{4} - x)]^{c o t x}$

出错原因：

无

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题目16

$lim_{x \to 0} (\frac{1 + s i n x c o s 2 x}{1 + s i n x c o s 3 x})^{c o t^{3} x}$

出错原因：

无

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题目17

$若 lim_{x \to 0} (\frac{1 + a c o s 2 x + b c o s 4 x}{x^{4}}) 存在，求 a ， b$

出错原因：

无

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题目18

$已知lim \begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{a x \sin x + b \cos x + c}{x (\sqrt{1 + x^{3}} - 1)} = \frac{1}{2}, 求 a, b, c 的值 . \end{aligned}$

出错原因：

无

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题目19

${已知 l i m}_{x \to \infty} \frac{a x + 2 ∣ x ∣}{b x - ∣ x ∣} a r c t a n x = - \frac{π}{2}, 求 a, b .$

出错原因：

无

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题目20

$\underset{x \to 0}{已知 l i m} [a a r c t a n \frac{1}{x} + ({1 + | x |)}^{\frac{1}{x}}] 存在,求 a 的值 .$

出错原因：

无

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题目21

$\begin{aligned} 设 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在, 则下列极限一定存在的是 ( \\ A. lim_{x \to x_{0}} [f (x)]^{α} (α 为任意实数) B. \underset{}{lim_{x \to x_{0}} a r c c o s} f (x) \\ C. lim_{x \to x_{0}} \ln f (x) D . lim_{x \to x_{0}} | f (x) | \end{aligned}$

出错原因：

无

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题目22

$lim_{n \to \infty} a_{n} - a,且 a \neq 0, 则当 n 充分大时有$

$A. ∣ a_{n} ∣> \frac{∣ a ∣}{2}$

$B. ∣ a_{n} ∣< \frac{∣ a ∣}{2}$

$C. a_{n} > a - \frac{1}{n}$

$D. a_{n} < a + \frac{1}{n}$

出错原因：

无

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题目23

$lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 5 \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}) =$

出错原因：

无

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题目24

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} \sqrt[n]{2} (1 - \cos \frac{1}{n^{2}})}{\sqrt{n^{2} + 1} - n} =$

出错原因：

无

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题目25

$求极限 lim_{n \to \infty} {(\frac{a - 1 + \sqrt[n]{b}}{a})}^{n} (a > 0, b > 0) .$

出错原因：

无

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题目26

$设 0< x_{1} < 3, x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} (3- x_{n})} (n = 1, 2, \dots), 证明 ⟨ x_{n} ⟩ 的极限存在,并求此极限 .$

出错原因：

无

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题目27

$设 - 1 < x_{0} < 0, x_{n + 1} = x_{n}^{2} + 2 x_{n} (n = 0, 1, 2, \dots), 试求 lim_{n \to \infty} x_{n} .$

出错原因：

无

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题目28

$已知函数 y = \frac{x}{\tan x}, 求该函数的所有间断点,并且判断间断点的类型 .$

出错原因：

无

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题目29

$设 f (x) = \frac{1}{π x} + \frac{1}{\sin π x} - \frac{1}{π (1-x)}, x \in [\frac{1}{2}, 1) . 试补充定义 f (1)使得 f (x) 在 [\frac{1}{2}, 1] 上连续 .$

出错原因：

无

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题目30

$判断函数 f (x) = \lim_{n \to \infty} [x a r c t a n (n c o t x)] 在 x = \frac{π}{2} 处的连续性 .$

出错原因：

无

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题目31

$\begin{aligned} 设 f (x) = {\begin{array}{c} x^{2} \sin \frac{1}{1 + x^{2}}, x ⩽ 0, \\ \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}}, x > 0, \end{array} 则 f (x) 在 x = 0 处 () . \\ A. 极限不存在 & B. 极限存在但不连续 \\ C. 连续但不可导 & D . 可导 \end{aligned}$

出错原因：

无